bezier.ru

Введение

Для программного рисования во Flash используется два метода: lineTo() и curveTo(), реализующие соответственно отрисовку отрезка и кривой Безье второго порядка.
В редакторе Flash имеется возможность отрисовывать кривые с помощью кривых Безье третьего порядка, однако, на этапе компиляции, они аппроксимируются кривыми Безье второго порядка.
В итоге, все векторные фигуры в скомпилированном swf файле реализованы с помощью отрезков или кривых Безье второго порядка.
В результате возникает целый спектр задач, для ре�?ения которых требуется математический аппарат работы с отрезками и кривыми Безье второго порядка.

Базовые задачи класса

1. управление:

• с помощью контрольных точек;
• установка заданной точки в произвольно заданные координаты;
• поворот относительно произвольно заданной точки;
• смещение на заданное расстояние.

2. геометрические свойства:

• получение точки на плоскости по известному time-итератору;
• родители (прямая для отрезка и парабола для кривой Безье)
• длина заданного сегмента
• габаритный прямоугольник
• площадь (для кривой Безье)
• касательные

3. получение точек на кривой:

• по дистанции от начала;
• ближай�?ей до произвольно заданной;
• пересечения с другими кривыми и отрезками.

Подавляющее боль�?инство остальных практических задач могут быть ре�?ены на основе ре�?ений этих базовых задач.

Собственно, перечисленные базовые задачи и реализованы в этом пакете классов.
Примеры ре�?ения других практических задач вынесены в пакет howtodo.

Концепции

1. Классы Bezier и Line реализованы схожим образом и подавляющее боль�?инство их методов имеют либо схожий, либо аналогичный синтаксис, определенный интерфейсом IParametric.
Разумеется, есть и отличия: к примеру, у Line не может быть свойства area, и отсутствует управляющая точка control; у Bezier, в свою очередь нет свойства angle, присутствующего в Line.

2. Геометрические фигуры(линии), реализованные в классах Line и Bezier, задаются в параметрической форме, и каждая точка фигуры характеризуется time-итератором.
Возможно, что поначалу покажется неудобным, что при вычислении точки на кривой возвращается не привычный всем объект класса Point, а time-итератор, являющийся Number. Однако такая реализация позволяет избежать избыточных конвертаций при последующих расчетах.

Универсально точной характеристикой положения точки на фигуре является time-итератор. Конвертировать в объект Point точку заданную time-итератором можно используя метод getPoint().
Обратное действие предполагает, что точка не обязательно математически точно должна принадлежать линии или кривой. Поэтому, при необходимости получения ее time-итератора, используйте метод getClosest().

3. Объекты Bezier и Line могут быть бесконечны, либо ограничены конечными точками start и end.
Ограниченность может быть установлена свойством isSegment (по умолчанию true).
Если задать isSegment=false, то возвращаемые методами значения будут содержать точки, в том числе, лежащие за пределами сегмента start-end. В противном случае, возвращаемые методами значения будут содержать только точки, принадлежащие сегменту лежащему между start и end.

Класс Bezier представляет кривую Безье второго порядка в параметрическом представлении, задаваемую точками на плоскости start, control и end и реализован в поддержку встроенного метода curveTo().
В классе реализованы свойства и методы, предоставляющие доступ к основным геометрическим свойствам этой кривой.

Краткие сведения о кривой Безье второго порядка

Любая точка P_t на кривой Безье второго порядка вычисляется по формуле (1):

P_t = S*(1-t)² + 2*C*(1-t)*t + E*t²

где:

• t (time) — time-итератор точки;
• S (start) — начальная опорная (узловая) точка (t=0) (anchor point);
• С (control) — управляющая точка (direction point);
• E (end) — конечная опорная (узловая) точка (t=1) (anchor point).

Построение производится итерационным вычислением множества точек кривой, с изменением значения итератора t в пределах от нуля до единицы.

Точка кривой Безье характеризуется time-итератором.
Две точки кривой, имеющие одинаковый time-итератор совпадут.
В общем случае две точки кривой Безье второго порядка с различным time-итератором не совпадут.

Свойства кривой Безье второго порядка

• кривая непрерывна;
• кривая остается кривой Безье при любых афинных преобразованиях: вращение, мас�?табирование, переенос;
• все точки кривой Безье лежат в пределах треугольника ?SCE;
• точки S и E всегда принадлежат кривой Безье и ограничивают ее;
• точки с равномерно изменяющимся итератором распределены плотнее на участках с б?ль�?им изгибом;
• вер�?ина кривой Безье — точка с итератором t=0.5 лежит на середине отрезка, соединяющем С и середину отрезка SE;
• точка C в общем случае не принадлежит кривой и лежит на пересечении касательных к кривой в точках S и E;
• если точка С лежит на прямой SE, то такая кривая является вырожденной;
• площадь фигуры, образуемой кривой Безье и отрезком SE равняется 2/3 площади описывающего треугольника. Центр тяжести этой фигуры находится на расстоянии 1/5 от середины основания SE до управляющей точки C;

Кривая Безье и парабола

Кривая Безье второго порядка является сегментом параболы.
Кривая, построенная по формуле 1, с итератором t изменяющимся в бесконечных пределах является параболой.
Если кривая Безье лежит на параболе, то такая парабола по отно�?ению к ней является родительской.

Это свойство также относится и к кривым Безье других степеней. Так, к примеру, отрезок можно рассматривать как Безье первого порядка, а его родителем будет линия, которой принадлежит этот отрезок.
Класс Line именно так интерпретирует отрезок для упрощения использования совместно с классом Bezier.
Кривая Безье третьего порядка на плоскости – сегмент проекции на плоскость кубической параболы, построенной в трехмерном пространстве.
�? общий случай: Кривая Безье порядка N на плоскости – сегмент проекции на плоскость N-мерной кривой, построенной в N-мерном пространстве.

�?менования и условные обозначения

При описании алгоритмов, свойств и т.д., если не указано иное, мы используем следующие именования и условные обозначения:

• треугольник Безье, описывающий треугольник — треугольник, образованный контрольными точками SCE;
• основание, основание кривой Безье — отрезок, образованный контрольными точками SE, основание треугольника SCE;
• ось, ось кривой, осевая линия — линия, проходящая через середину основания, вер�?ину и управляющую точку C
• итератор, time-итератор, time, t — числовое значение, характеризующее положение точки на кривой Безье.
• родительская парабола, родительская кривая – парабола, которой принадлежит данная кривая Безье (по умолчанию считаем, что кривая Безье ограничена в рамках значений итератора от 0 до 1).

Точки лежащие на кривой

• S (Start) — начальная опорная (узловая) точка (t=0) (anchor point)
• С (Control) — управляющая (направляющая) точка (direction point)
• E (End) — конечная опорная (узловая) точка (t=1) (anchor point)
• V (Vertex) — вер�?ина кривой (t=0.5)
• P_t (Point, time) — точка на кривой, заданная итератором t
• T (Top) — вер�?ина родительской параболы

Другие точки

• M (Middle) — середина основания — отрезка SE
• S_t (Start, time) — точка на отрезке SC, заданная итератором t
• E_t (End, time) — точка на отрезке CE, заданная итератором t
• F (Focus) — фокус родительской параболы.
• D (Directrix) — точка пересечения оси родительской параболы и директрисы родительской параболы.
• G_i (center of Gravity, internal) — центр тяжести фигуры образуемой кривой Безье и основанием описывающего треугольника SE.
• G_e (center of Gravity, external) — центр тяжести фигуры образуемой кривой Безье и сторонами описывающего треугольника SC и CE.
• G_t (center of Gravity, triangle) — центр тяжести описывающего треугольника SCE.

�?ван Дембицкий

Сергеев: даже «камасутра» начинается с главы «введение»…